之前写了比较多的多位表的内容，但是相关的建模内容很少，今天就写一些。

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K2000什么叫“位”和“半位”（核心定义）“位（digit）”不是小数位，而是“显示计数位”

在万用表里：

1 位 = 1 个完整的十进制数字（0–9）

能完整显示 0~9，称为 1 位

能显示 0 或 1（有时到 2），称为 半位（½ digit）

六位半 = 6 个完整数字 + 1 个“最高位受限数字”

6½ 位显示能力 = 1999999 counts（≈ 2,000,000 counts）

类型最大显示对应 counts5½ 位199999200k6½ 位19999992M7½ 位1999999920M

重点：

“位数”描述的是 ADC 输出+显示系统的动态范围，不是精度本身。

6½ 位到底“能分辨多细”？（分辨率）

我们以最典型的 10 V 档 为例：

分辨率公式量程六位半在 10 V 档

也就是说：

显示：10.000000 V

最小显示变化 = 5 µV

实际常标称为 1 µV 级分辨率

注意：

这是“分辨率”，不是“误差”

分辨率 ≠ 精度 ≠ 准确度

很多人第一次都会混淆这三件事。

三个概念对比名称看到的决定因素分辨率最小跳变位数 / counts精度（Accuracy）离真值多远校准、漂移、线性重复性抖不抖噪声、积分时间一个典型 6½ 位表的现实指标

以 Keithley 2000 为例：

分辨率：1 µV

一年 DCV 精度：≈ 30–50 ppm

噪声（NPLC=1）：~3–5 µV RMS

噪声（NPLC=10）：~0.7–1 µV RMS

所以：

能“显示”1 µV，不代表“测得准”1 µV

6½ 位是怎么“测出来”的？（ADC 架构）几乎所有台式 6½ 位表都用：

积分型 ADC（双积分，多斜率积分（MSI））

核心思想

用时间换精度，用积分抑制噪声

把输入电压 → 转换成 积分时间，里面的参考源、电容、运放参数误差会被抵消，这样就对 50 / 60 Hz 干扰天然免疫

这也是为什么会看到一个参数叫：

NPLC（Number of Power Line Cycles）NPLC积分时间特性0.12 ms快，噪声大120 ms标准10200 ms低噪声1002 s极限稳定

结论：

6½ 位不是“瞬时精度”，而是“积分后的精度”

6½ 位 vs ADC ENOB

很多做 ADC 的人会问：

“6½ 位 ≈ 几位 ADC？”

粗略等效：

但注意：这是 直流 + 积分后的等效和高速 ADC 的 ENOB 不可直接类比，因为它追求的是 低频、直流、长期稳定。

用数学模型推导 6½ 位积分 ADC 的噪声极限

用数学模型把“6½ 位积分 ADC（以双积分/多斜率积分为代表）能做到的噪声极限”推出来。前置假设是：

把积分型 ADC 看成一个线性滤波器 + 采样/比值测量器用滤波器的 ENBW（等效噪声带宽）把各种噪声源折算到输出把输出噪声换算成 counts，看它能不能支撑 6½ 位（2,000,000 counts）建模对象与符号

以最典型的 双积分（dual-slope）为主（多斜率只是把“回零阶段”做得更精密，噪声推法类似）：

输入电压：

参考电压：（回零阶段用）

积分时间（run-up）：

回零时间（run-down）：

积分器输出：

积分器输入等效噪声：（包含前端热噪声/放大器/开关注入折算等）

理想双积分的测量式（忽略误差项）：

所以：输出读数本质上是“时间比值”。噪声会让这个比值抖动。

关键一步：双积分对输入噪声的“滤波器等效”

把积分过程写成线性算子。积分器（电容 ，电阻 ）：

在 run-up 结束时（）：

run-down 阶段用  反向积分直到 。设实际回零时间为 。写“回零条件”：

整理得到：

噪声积分项

因此估计的输入电压：

这给了一个非常重要的结论：

双积分对“输入等效电压噪声”就是做了两段矩形窗的积分，再除以 *，所以它等效成一个“平均器（averager）”。

为了得到噪声 RMS，我们把上式看成线性滤波器输出：

其中权函数（简单近似  时最常用）：

也就是“长度  的矩形平均”，幅度 。

白噪声下的噪声极限（最常用）

设输入等效噪声是白噪声，单边谱密度（单位 V/√Hz）为 （常数）。

定理： 对白噪声，通过线性滤波器，输出方差

其中 ENBW 是滤波器等效噪声带宽。

矩形平均器的 ENBW

长度  的“平均器”权函数 

其 ENBW 为：

这个结果非常经典：平均越久，带宽越窄，噪声越低。

这里双积分近似等效平均长度 ，于是：

所以输出 RMS 噪声极限（白噪声）：

这就是我们要的“噪声极限公式”之一：

积分时间  翻 4 倍，噪声 RMS 降一半（）

把 NPLC 放进来：和电网频率的直接关系

台式 DMM 常设：

例如 50 Hz 下：1 NPLC = 20 ms；60 Hz 下：1 NPLC ≈ 16.67 ms。

代入上式：

这条特别好用：

NPLC 越大，噪声按  降，也解释了为什么“慢档更稳、噪声更低”

6½ 位的“counts 噪声”门槛怎么判？

6½ 位约等于 2,000,000 counts。对某个量程 （比如 10 V 档），1 count 约为：

要让显示“稳定到最后几位”，经验上希望： LSB（取决于显示/滤波策略）

换成对噪声密度的要求：

如果以“1 LSB”为目标：

这给了一个非常清晰的工程含义：

想撑住 6½ 位，输入等效噪声密度  必须低到：与量程成正比、与积分时间的平方根成正比。

1/f 噪声怎么进来？（低频杀手）

上面白噪声很好推，但真实 DMM 在长积分时，常被 1/f 噪声、漂移、温漂、热电势限制。

典型 1/f 噪声模型：

单位

输出方差：

对“平均器”  低频处 ，因此 1/f 噪声积分会出现对低频截止的依赖：

 大致由滤波器主瓣决定（~1/T）

 由“观测时间/零点漂移补偿/auto-zero”等决定（不是数学上自然出现的，必须由系统机制给出）

白噪声随着  增长一直降，但 1/f 和漂移会让你在大 NPLC 时出现“继续变慢，改善不明显甚至变差”的拐点，这就是很多表在 NPLC=10、100 时提升有限的原因之一。

参考源噪声的极限（双积分的第二大噪声项）

因为结果是比值 ，参考噪声会直接乘进去；把参考噪声看成 。在 run-down 阶段，回零时间由“积分到零”决定，参考噪声会等效成时间抖动，再折算成电压噪声。

工程上常用一个近似：参考噪声在 run-down 的“有效平均”后，以比例形式进入：

其中  是参考在  上平均后的 RMS：

所以在大信号测量时，参考噪声会决定“有效位数”的上限；在小信号时，前端噪声/热电势更关键。

一个可直接用的“噪声预算”总公式

把主要噪声项近似平方和（RMS）：

输入白噪声参考噪声折算漂移近似热电势接触噪声等

然后换算到 counts：

判据（经验性的看）：

 ：最后一位较稳，更小会“钉死”，但也可能掩盖真实漂移（看用途）

噪声极限

在“白噪声主导、双积分、”的理想极限下：

这就是“积分 ADC 的噪声极限标尺”。

继续推导： 6½ 位的门槛线

先用一组“典型台式 DMM 前端噪声密度”的假设值，做一张从 0.1 到 100 NPLC 的极限曲线，把 6½ 位的门槛线标出来。

的用一组“典型台式 DMM 前端输入等效白噪声密度”的假设值，画出了 0.1–100 NPLC 的双积分（dual-slope）白噪声极限曲线，并把 6½ 位门槛线标出来了（以 10 V 量程、2,000,000 counts 为例：1 LSB = 5 µV）。

你在下面看到两张图：

σV（伏特 RMS） vs NPLC：并标出 1 LSB = 5 µV、0.3 LSB ≈ 1.5 µV 两条水平线

σ（counts RMS） vs NPLC：更直观地看“最后一位稳不稳”（1 count、0.3 count 门槛）

用的数学模型

对双积分在“白噪声主导、”近似下：

并用 50 Hz 作为电网频率（60 Hz 时整体会略变差一点点，因为 ）。

6½ 位在 10 V 档：

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Assumptions: 50 Hz line, 10 V range, 6½-digit => 1 LSB = 5.00 µVNPLC points: [  0.1   1.   10.  100. ]10 nV/√Hz (very good)  NPLC=  0.1: σ_V=   0.112 µV,  σ=   0.022 counts  NPLC=  1.0: σ_V=   0.035 µV,  σ=   0.007 counts  NPLC= 10.0: σ_V=   0.011 µV,  σ=   0.002 counts  NPLC=100.0: σ_V=   0.004 µV,  σ=   0.001 counts30 nV/√Hz (good)  NPLC=  0.1: σ_V=   0.335 µV,  σ=   0.067 counts  NPLC=  1.0: σ_V=   0.106 µV,  σ=   0.021 counts  NPLC= 10.0: σ_V=   0.034 µV,  σ=   0.007 counts  NPLC=100.0: σ_V=   0.011 µV,  σ=   0.002 counts100 nV/√Hz (okay)  NPLC=  0.1: σ_V=   1.118 µV,  σ=   0.224 counts  NPLC=  1.0: σ_V=   0.354 µV,  σ=   0.071 counts  NPLC= 10.0: σ_V=   0.112 µV,  σ=   0.022 counts  NPLC=100.0: σ_V=   0.035 µV,  σ=   0.007 counts

仅从“白噪声极限”看：6½ 位门槛其实很宽松

会发现，即便假设输入等效白噪声密度到 100 nV/√Hz（我标成“okay”），在 50 Hz 下：

NPLC=0.1：σ ≈ 0.224 counts RMS

NPLC=1：σ ≈ 0.071 counts RMS

NPLC=10：σ ≈ 0.022 counts RMS

也就是说：白噪声并不会卡在 6½ 位，它远低于 1 count 的门槛。

这对应一个现实经验：

真实 6½ 位表的“最后几位跳动”，更多来自 1/f 噪声、漂移、热电势、开关注入、参考源低频噪声、温漂与机械/接触噪声，而不是白噪声。

6½ 位“能不能钉死最后一位”的主导不是 NPLC，而是低频误差机制

所以真实机器上常见到：

NPLC 从 1 拉到 10：明显更稳

从 10 拉到 100：改善变小，甚至出现慢漂、慢跳（因为 1/f 与热漂移开始主导）

继续完善

加入：

1/f 噪声项：（决定大 NPLC 的拐点）

热电势/漂移项：可用随机游走或线性漂移 + 温度噪声模型叠加

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Assumed parameters:  Line freq: 50.0 Hz,  Ti = NPLC/f_line  10 V range, 6½-digit => 1 LSB = 5.00 µV  1/f low cutoff via auto-zero timescale T_az = 5.0 s (f_L=0.200 Hz)Component breakdown for '30 nV/√Hz (good)': en=30.0 nV/√Hz, f_c=1.0 Hz, k_rw=0.15 µV/√s  NPLC=  0.1:  white= 0.335 µV,  1/f= 0.080 µV,  drift= 0.200 µV  => total= 0.399 µV  (0.080 counts)  NPLC=  1.0:  white= 0.106 µV,  1/f= 0.066 µV,  drift= 0.201 µV  => total= 0.237 µV  (0.047 counts)  NPLC= 10.0:  white= 0.034 µV,  1/f= 0.048 µV,  drift= 0.211 µV  => total= 0.219 µV  (0.044 counts)  NPLC=100.0:  white= 0.011 µV,  1/f= 0.014 µV,  drift= 0.292 µV  => total= 0.292 µV  (0.058 counts)

把 1/f 噪声 和 热电势/漂移（低频游走） 两个机制都加到模型里，并重新画了两张“极限曲线”：

总 RMS 噪声 σV vs NPLC（0.1–100），并标出 6½ 位门槛线（10 V 档：1 LSB = 5 µV、0.3 LSB = 1.5 µV）

同一张图换算成 counts（更直观判断最后一位抖不抖）

会明显看到：曲线不再是一直往下掉，而是出现了“U 型 / 拐点”——这正是现实 DMM 的典型现象： 短积分时白噪声主导，积分变长后 1/f 与漂移开始主导，继续变慢收益变小甚至变差。

加的两个项：数学形式白噪声项（之前那条）1/f 噪声项（用“1/f 角频率”表征）

设 1/f 噪声 PSD：。 对“平均器/双积分等效低通”，取：

上限 

下限 （用一个“autozero/反转/归零的有效时间尺度”来截断发散）

得到：

我假设：。

热电势/漂移项（低频游走的简化随机游走模型）

用随机游走系数  表征“热电势/接触/温漂导致的慢漂”：

其中  是一个小的“微热扰动底噪”（我设 0.2 µV）。

总噪声结果怎么解读?

以我给的“good 级别”假设（30 nV/√Hz，，）为例（50 Hz，10 V 档）：

NPLC=0.1：总噪声 ≈ 0.399 µV（0.080 counts）

NPLC=1：总噪声 ≈ 0.237 µV（0.047 counts）

NPLC=10：总噪声 ≈ 0.219 µV（0.044 counts）

NPLC=100：总噪声 ≈ 0.292 µV（0.058 counts）

能看到：从 1 到 10 提升不大；到 100 反而变差一点点（漂移项开始抬头）。

同时也能看到另一个事实：即便加入 1/f + 漂移，在 10 V 档“1 LSB=5 µV”的 6½ 位门槛仍然很宽松（远低于 1 count RMS）。

这也符合现实：6½ 位表在 10 V 档通常“最后几位”更多是显示滤波策略、短时抖动、以及环境热电势导致的慢漂，而不是白噪声限制。

后记

我虽然不做这么高级的表，但是我会算，，，

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# -----------------------------# Model: Dual-slope DMM noise vs NPLC# Add: white noise + 1/f noise + thermal EMF / drift (random walk)# -----------------------------f_line = 50.0  # Hznplc = np.logspace(-1, 2, 500)  # 0.1..100T = nplc / f_line  # integration time (seconds), using Ti = NPLC / f_line# Range and counts for "6½-digit @10V"V_FS = 10.0counts = 2_000_000V_LSB = V_FS / counts  # 5 µV# --- White noise (input-referred) assumptions (V/sqrt(Hz)) ---en_list = [    ("10 nV/√Hz (very good)", 10e-9),    ("30 nV/√Hz (good)", 30e-9),    ("100 nV/√Hz (okay)", 100e-9),]# Dual-slope white-noise limit (approx): sigma_w = e_n /(2*sqrt(Ti))def sigma_white(en, Ti):    return en / (2.0 * np.sqrt(Ti))# --- 1/f noise model ---# Define 1/f corner where 1/f equals white at f_c:# sqrt(S_1f(f)) = en * sqrt(f_c/f)   (V/sqrt(Hz))# so PSD: S_1f(f) = en^2 * f_c / f   (V^2/Hz)## For an averaging-like transfer function, low-f |H(f)|~1 up to ~f_H ~ 1/(2Ti) (order),# and the effective lower bound f_L set by auto-zero / reversal / calibration cadence.# We'll model f_L as 1 / T_az, with a plausible T_az = 1..10 s for DMM-style zero/offset tracking.T_az = 5.0     # seconds (assumed effective low-frequency "reset" / autozero timescale)f_L = 1.0 / T_az# Use f_H ~ 1/(2Ti) (captures that longer integration narrows passband)def sigma_1f(en, f_c, Ti):    f_H = 1.0 / (2.0 * Ti)    # ensure f_H >= f_L to avoid negative log; if not, clamp -> log=0 meaning 1/f largely averaged out below f_L    ratio = np.maximum(f_H / f_L, 1.0)    var = (en**2 * f_c) * np.log(ratio)    return np.sqrt(var)# Pick plausible 1/f corners for each "quality" level (order-of-magnitude)# Better front-end has lower corner (less 1/f) and/or uses chopper/AZ.f_c_map = {    "10 nV/√Hz (very good)": 0.2,   # Hz    "30 nV/√Hz (good)": 1.0,        # Hz    "100 nV/√Hz (okay)": 5.0,       # Hz}# --- Thermal EMF / drift model ---# Thermal EMF + contact noise often behaves like low-frequency wander.# Simple model: random walk of offset with coefficient k_rw (V/sqrt(s)),# and the "measurement" averages over Ti, so RMS contribution scales ~ k_rw * sqrt(T_obs) / sqrt(N_eff).# A pragmatic way: treat it as sigma_drift = k_rw * sqrt(Ti) (grows with time)# plus a small "floor" (e.g., due to micro-thermals that don't average).k_rw_map = {    "10 nV/√Hz (very good)": 0.05e-6,  # 0.05 µV/sqrt(s)    "30 nV/√Hz (good)": 0.15e-6,       # 0.15 µV/sqrt(s)    "100 nV/√Hz (okay)": 0.40e-6,      # 0.40 µV/sqrt(s)}sigma_floor = 0.2e-6  # 0.2 µV RMS "micro-thermal" floordef sigma_drift(k_rw, Ti):    return np.sqrt((k_rw**2) * Ti + sigma_floor**2)# --- Compute and plot ---plt.figure(figsize=(8.4, 5.4))for label, en in en_list:    f_c = f_c_map[label]    k_rw = k_rw_map[label]    s_w = sigma_white(en, T)    s_1f = sigma_1f(en, f_c, T)    s_d = sigma_drift(k_rw, T)    s_tot = np.sqrt(s_w**2 + s_1f**2 + s_d**2)    plt.loglog(nplc, s_tot, label=f"{label} (fc={f_c} Hz, k_rw={k_rw*1e6:.2f} µV/√s)")# 6½-digit thresholds on 10V rangeplt.axhline(V_LSB, linestyle="--", linewidth=1, label="6½-digit @10V: 1 LSB = 5 µV")plt.axhline(0.3*V_LSB, linestyle=":", linewidth=1, label="0.3 LSB ≈ 1.5 µV")plt.xlabel("NPLC")plt.ylabel("Total RMS noise σ_V (V)")plt.title("Dual-slope DMM noise vs NPLC: white + 1/f + thermal EMF/drift (assumptions)")plt.grid(True, which="both")plt.legend(fontsize=8)plt.tight_layout()plt.show()# counts plotplt.figure(figsize=(8.4, 5.4))for label, en in en_list:    f_c = f_c_map[label]    k_rw = k_rw_map[label]    s_w = sigma_white(en, T)    s_1f = sigma_1f(en, f_c, T)    s_d = sigma_drift(k_rw, T)    s_tot = np.sqrt(s_w**2 + s_1f**2 + s_d**2)    plt.loglog(nplc, s_tot / V_LSB, label=f"{label}")plt.axhline(1.0, linestyle="--", linewidth=1, label="1 count RMS")plt.axhline(0.3, linestyle=":", linewidth=1, label="0.3 count RMS")plt.xlabel("NPLC")plt.ylabel("RMS noise σ (counts)")plt.title("Same in counts (10 V range, 6½-digit => 1 count = 5 µV)")plt.grid(True, which="both")plt.legend()plt.tight_layout()plt.show()# Show component breakdown for "good" case at representative NPLClabel_sel = "30 nV/√Hz (good)"en_sel = dict(en_list)[label_sel]f_c_sel = f_c_map[label_sel]k_rw_sel = k_rw_map[label_sel]points = np.array([0.1, 1, 10, 100.0])Ti_p = points / f_lines_w = sigma_white(en_sel, Ti_p)s_1f = sigma_1f(en_sel, f_c_sel, Ti_p)s_d = sigma_drift(k_rw_sel, Ti_p)s_tot = np.sqrt(s_w**2 + s_1f**2 + s_d**2)print("Assumed parameters:")print(f"  Line freq: {f_line} Hz,  Ti = NPLC/f_line")print(f"  10 V range, 6½-digit => 1 LSB = {V_LSB*1e6:.2f} µV")print(f"  1/f low cutoff via auto-zero timescale T_az = {T_az} s (f_L={f_L:.3f} Hz)")print(f"\nComponent breakdown for '{label_sel}': en={en_sel*1e9:.1f} nV/√Hz, f_c={f_c_sel} Hz, k_rw={k_rw_sel*1e6:.2f} µV/√s")for n, w, onef, d, tot in zip(points, s_w, s_1f, s_d, s_tot):    print(f"  NPLC={n:>5}:  white={w*1e6:>6.3f} µV,  1/f={onef*1e6:>6.3f} µV,  drift={d*1e6:>6.3f} µV  => total={tot*1e6:>6.3f} µV  ({tot/V_LSB:>5.3f} counts)")

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 支持中文 + 正确显示负号# import matplotlib.pyplot as plt# 设置支持更多符号的字体plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['DejaVu Sans', 'SimHei']  # fallback 到 SimHei 显示中文plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 避免 U+2212 减号问题# Assumptions (typical bench DMM front-end, order-of-magnitude)f_line_50 = 50.0  # Hzf_line_60 = 60.0  # Hz# NPLC sweepnplc = np.logspace(-1, 2, 400)  # 0.1 ... 100# Typical input-referred white-noise density assumptions (V/sqrt(Hz))en_list = [    ("10 nV/√Hz (very good)", 10e-9),    ("30 nV/√Hz (good)", 30e-9),    ("100 nV/√Hz (okay)", 100e-9),]# Dual-slope white-noise limit: sigma_V ≈ (e_n/2)*sqrt(f_line/NPLC)def sigma_v(en, f_line, nplc):    return (en / 2.0) * np.sqrt(f_line / nplc)# 6½-digit threshold on 10 V range: 2,000,000 counts -> 1 LSB = 10V/2e6 = 5 µVV_FS = 10.0counts = 2_000_000V_LSB = V_FS / counts  # voltsV_1LSB = V_LSBV_0p3LSB = 0.3 * V_LSB# --- Plot 1: sigma_V vs NPLC (50 Hz) with 6½-digit thresholds ---plt.figure(figsize=(8, 5))for label, en in en_list:    plt.loglog(nplc, sigma_v(en, f_line_50, nplc), label=label)plt.axhline(V_1LSB, linestyle="--", linewidth=1, label="6½-digit @10V: 1 LSB = 5 µV")plt.axhline(V_0p3LSB, linestyle=":", linewidth=1, label="0.3 LSB ≈ 1.5 µV")plt.xlabel("NPLC (integration time in line cycles)")plt.ylabel("RMS output noise floor σ_V (V)")plt.title("Dual-slope white-noise limit vs NPLC (assumed input-referred white noise, 50 Hz line)")plt.grid(True, which="both")plt.legend()plt.tight_layout()plt.show()# --- Plot 2: same but in counts (50 Hz) ---plt.figure(figsize=(8, 5))for label, en in en_list:    sig_counts = sigma_v(en, f_line_50, nplc) / V_LSB    plt.loglog(nplc, sig_counts, label=label)plt.axhline(1.0, linestyle="--", linewidth=1, label="1 count RMS (≈ 1 LSB)")plt.axhline(0.3, linestyle=":", linewidth=1, label="0.3 count RMS")plt.xlabel("NPLC (integration time in line cycles)")plt.ylabel("RMS noise σ (counts)")plt.title("Same plot in counts (6½-digit on 10 V range means 1 count = 5 µV), 50 Hz line")plt.grid(True, which="both")plt.legend()plt.tight_layout()plt.show()# Quick numeric table at a few NPLC pointstest_nplc = np.array([0.1, 1, 10, 100.0])rows = []for label, en in en_list:    sig_uV = sigma_v(en, f_line_50, test_nplc) * 1e6    sig_counts = sigma_v(en, f_line_50, test_nplc) / V_LSB    rows.append((label, sig_uV, sig_counts))print(f"Assumptions: 50 Hz line, 10 V range, 6½-digit => 1 LSB = {V_LSB*1e6:.2f} µV")print("NPLC points:", test_nplc)for label, sig_uV, sig_counts in rows:    print(f"\n{label}")    for n, u, c in zip(test_nplc, sig_uV, sig_counts):        print(f"  NPLC={n:>5}: σ_V={u:>8.3f} µV,  σ={c:>8.3f} counts")

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